学习心得：分析力学的一些重要概念的关系梳理

分析力学的一些重要概念的关系梳理

由牛顿力学进入分析力学时，会遇到非常多的奇特概念：作用量，最小作用量原理，哈密顿量、哈密顿正则方程；拉格朗日量、欧拉-拉格朗日方程，相空间、坐标空间。这些概念初见时常摸不着头脑，细品时内涵极其深刻，它们之间有什么联系呢？最近在学习陈童老师的《经典力学新讲》时，对它们的联系有了一个整体的感觉，写下来做个记录。

1. 从数学出发

在数学上，从费马原理出发，发展出了研究一类特殊的函数，叫做泛函，它的特殊性在于它的自变量本身也是一个函数。其表达式为

我们常常关心的是对这个泛函取极值的问题。也就是令，这被称为“最小作用量原理”，在令泛函取极值时，一定能推出下面这个表达式，即

这被称为一般形式的欧拉-拉格朗日方程”，它是一个二阶微分方程。

另外要注意的是，在对泛函取极值时，所有的的两端都是固定的。

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2.进入到物理中的相空间

转到物理上，在研究单个粒子（或多粒子体系）时，我们可以取坐标，和动量作为泛函的自变量，此时的泛函被称为作用量。而由和构成的空间称为“相空间”。这时候的作用量就被写成，具体表达为

在表达式里面会包含一项，这被称为哈密顿量。

这样，数学上的泛函取极值问题，就被转化为相空间中的作用量取极值的问题，也就是“相空间中的最小作用量原理”，由此还可以得到如下表达式，即

这被称为“哈密顿正则方程”，可以看到，这是一组一阶微分方程。

要注意的是，在对相空间的作用量取极值时，相空间中可能的路径在两端并不固定，采取的做法是固定的两端。

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3. 进入物理中的坐标空间

进一步，如果我们直接取坐标作为作用量泛函的自变量，由此构成的空间称为“坐标空间”，这时候的作用量就变成了，即

在表达式里包含一项，这被称为拉格朗日量。

由坐标空间中的最小作用量原理可以推出“拉格朗日方程”，即

要说明的是：

可以证明，坐标空间中的最小作用量原理可以由相空间中的最小作用量原理推导出来；

在推导的过程中，由哈密顿量到拉格朗日量的变换过程叫做勒让德变换。反之，通过勒让德变换，也可以由拉格朗日量得到哈密顿量。