相空间语言下的哈密顿力学简介
自牛顿建立力学以来，经典力学已经有了充分系统的发展。其中最主流的三种力学体系分别为牛顿力学，拉格朗日力学和哈密顿力学（后两者通常合称为分析力学）。
可以证明这三种力学体系是等价的，他们都描述了经典力学并给后来的物理发展带来了巨大的贡献。
本文的主要目的是简单介绍数学语言是如何描述哈密顿力学的，为了避免文章过于冗长，本文只会考虑完整约束系统的哈密顿力学，并且哈密顿量总是不显含时间的。
一、分析力学回顾
一个质点系统，如果最多只需要 n 个独立的坐标便可确定它的位置，那么我们把 n 称为它的自由度，把这 n 个坐标称为广义坐标，这n个广义坐标构成的空间称为位形空间。
注意，这里的 n 个坐标并不一定是笛卡尔坐标，它的选取相当任意，只要可以用来描述这个质点系统的位置便可。
仅仅只有这 n 个广义坐标还不足以确定系统的动力学演化，我们还需要知道此时的广义速度，有了这些，我们可以定义一个被称为拉格朗日量的东西，这是个关于广义坐标和广义速度的函数
假设时刻 和 系统位置为 和 ，那么对拉格朗日量以参数 进行积分，得到一个作用量 ，如下
根据最小作用量原理，真实的运动是作用量 取极小值时的情况，因此对 做变分，可以得到著名的欧拉-拉格朗日方程（简称欧拉方程）
理论上只需要解上述方程就可以得到运动方程。
（欧拉 图）
（拉格朗日 图）
二阶方程通常不好解，因此我们可以通过一种被称为勒让德变换的手段，将这个二阶方程转换成两个一阶方程。接下来讲解这是怎么做到的。
利用勒让德变换定义一个新的量
我们把这新的变量称为广义动量，然后定义一个新的函数
这个新函数称为哈密顿量。
注意，此时我们已经通过勒让德变换把变量 转变成了，因此，哈密顿函数定义里的 应该理解为 和 的函数，所以哈密顿量是一个广义坐标和广义动量的函数。
此时你可以使用最小作用量原理，从而得到两个一阶微分方程
这就是大名鼎鼎的哈密顿正则方程。
在结束本小节前我想强调，尽管以上过程似乎是用拉格朗日力学“推出”哈密顿力学，但这只是为了方便理论的引出和阐述。
事实上我们可以分别直接使用欧拉方程或者正则方程作为理论的起点，从而这两个理论完完全全是独立等价的。对于分析力学的更多内容读者可以翻阅[1][2]（见文末）
二、流形的引入
为了在数学上严格描述，我们需要借助流形的概念。如前所述，仅有位置是不足以描述运动情况的，因此我们需要一个比位形空间“更大”的空间。
考察后发现，这个空间正是位形空间的切丛 。
因此，拉格朗日量实际是定义在位形空间切丛上的一个函数
那么我们通过勒让德变换改变了其中的变量 为 是否说明这是在切丛上换了一组坐标呢？
答案是——否！观察勒让德变换
我们发现 是逆变，而 却是协变的！
因此勒让德变换实际是一个从切丛到余切丛的映射
而哈密顿量则是一个定义在余切丛上的函数
位形空间的余切丛在物理上通常也称为相空间，由于我们接下来只会处理哈密顿力学，因此之后都称其为相空间。
三、相空间上的哈密顿力学
在介绍相空间上的哈密顿力学前，我们首先定义一个比较抽象的结构。
设在偶数维流形 上给定一个2-形式 ，如果这个 满足以下两个条件
是非退化的
那么我们就给定了流形一个辛形式，这样的流形称为辛流形。
辛形式的定义是比较抽象甚至怪异的，我相信第一次看到这个东西的人普遍不知道这样的结构的意义是什么。
不过没有关系，我们并不打算在这讲解这个结构会带来如何丰富的数学内容（事实上，辛几何早已脱离了物理，成为一个独立的蓬勃发展的基础数学研究领域），而只是来看看利用这样的形式能帮助我们怎样描述哈密顿力学。
让我们回到相空间上，由于相空间是位形空间的余切丛，因此它自然是偶数维的，然后我们定义一个2-形式，如下所示
例如对于一个二维相空间，，对于四维相空间
以此类推。
很容易可以验证，这样定义的2-形式满足辛形式的定义，因此我们就给出了相空间上的一个辛结构。
辛形式是个2-形式，因此我们可以借助它建立一个矢量空间到对偶矢量空间的映射
而哈密顿量是相空间的函数，因此我们可以对它进行一次外微分，如果我们要求某个矢量场在辛形式的映射下正好等于哈密顿量外微分后的对偶矢量，即
我们称这样的矢量场 为哈密顿矢量场，由微分方程的解的唯一性定理可知，一个矢量场总可以给出一条积分曲线，哈密顿矢量场给出的积分曲线正是物理状态在相空间中的演化轨迹！
由于这个结果很重要，我们将在这给出证明。
证：
代入 中，得
对比两边可知，分量正是我们的哈密顿正则方程 Q.E.D.
一个物理量 F 会如何得随物理态的演化而变化，这在相空间上就是，随着演化轨迹物理量如何变化。
我们已经知道了演化轨迹生成的矢量场是哈密顿矢量场，因此，一个物理量的变化正是在哈密顿矢量场方向上的李导数 ，对此我们做以下恒等式变换
现在仿照哈密顿矢量场的定义，我们可以定义 通过辛形式给出的矢量场
如此一来，
如果把上式按坐标展开，你会发现这正是我们熟悉的泊松括号，即泊松括号为 。如果我们取 ，那么代入上式，由于2-形式的反对称性，你很快就可以得到
即能量守恒。
相空间中的体积元取为
这个体积元在哈密顿矢量场方向的李导数不变，即
这则是刘维尔定理在相空间中的表述。
对于更详细的相关知识，读者可查阅[3][4]（见文末）
四、总结
对哈密顿力学体系而言，物理状态是相空间中的某一点（一个元素），而物理态的演化轨迹则是相空间中的一条曲线，观测量则是相空间上的一个函数
以上便构成了经典力学的图像。
注释：
只需要广义坐标和广义速度就可确定系统的演化，而不需要广义加速度或是更高阶的导函数，这个事实原则上是实验告诉我们的，我们发现我们只需要广义坐标和广义速度就可得到系统的整个动力学演化结果。 这里的时间t应该看成是一个参数。 注意这里的矢量空间和对偶矢量空间是指相空间上的，而不是原来那个位形空间。 严格来讲给出的是局域解，不过在我们这的讨论也够了。 如果读者熟悉量子力学的话可以在这做一个很有趣的对比，在量子力学中，物理状态为Hilbert空间中的一个态矢，观测量则是一个自伴算子，由此可看出量子力学的确对于经典力学而言是一次革命性的发展。
参考资料：
[1] 朗道，栗弗席兹. 力学（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007
[2]梁昆淼原著，鞠国兴，施毅修订. 力学（下）[M]. 北京：高等教育出版社，2009
[3]阿诺德. 经典力学的数学方法（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006
[4]RALPH ABRAHAM AND JERR LE.MARSD. Foundations of Mechanics(second editon) [M] Canada:Addison-Wesley Publishing Company, 1987
